Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, и b не равно нулю. Мы будем доказывать, что корень из 15 является иррациональным числом.
Предположим, что √15 — рациональное число. То есть, мы можем представить его в виде дроби √15 = a/b, где a и b не имеют общих делителей, кроме 1.
Возводя обе стороны уравнения в квадрат, получаем 15 = (a^2)/b^2. Умножая обе стороны на b^2, получим 15b^2 = a^2.
Заметим, что a^2 является квадратом, а 15b^2 — произведением некоторого числа на 15. Это противоречит основному утверждению о целостности числа, что 15b^2 не может быть квадратом.
Таким образом, мы пришли к противоречию, и поэтому наше предположение о том, что корень из 15 — рациональное число, должно быть неверным. Значит, корень из 15 является иррациональным числом.
- Непосредственные доказательства
- Первым доказательством является использование противоречия
- Вторым доказательством является доказательство методом исключения
- Связь с неразложимостью в непрерывной десятичной системе
- Предположим, что корень из 15 — рациональное число
- Связь с неразложимостью в бесконечной десятичной системе
- Определение неразложимости числа
Непосредственные доказательства
Первый способ основан на предположении обратного. Предположим, что корень из 15 является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби к/н, где к и н — целые числа, взаимно простые, и н не равно нулю.
Тогда, если √15 = к/н, можно возвести обе части уравнения в квадрат:
| √15 | = | к/н |
| (√15)² | = | (к/н)² |
| 15 | = | к²/н² |
Таким образом, получаем:
| 15н² | = | к² |
Из этого следует, что 15 делит к². Но так как 15 является простым числом, то оно должно делить и к. То есть, к = 15м, где м — целое число. Подставляем это значение обратно в уравнение:
| 15н² | = | (15м)² |
| 15н² | = | 225м² |
Из этого следует, что 15 также делит н². Снова, так как 15 является простым числом, оно должно делить и н. То есть, н = 15л, где л — целое число.
Теперь мы имеем, что к = 15м и н = 15л, тогда:
Первым доказательством является использование противоречияПредположим, что корень из 15 – рациональное число, то есть можно представить в виде дроби a/b, где a и b – целые числа, а b не равно нулю. Тогда уравнение корня из 15 в квадрате принимает вид: (√15)² = 15 = (a/b)² Перемножим обе части уравнения на b²: 15b² = a² Таким образом, мы получаем, что 15 умноженное на квадрат b равно квадрату a. Заметим, что 15 делится на 3, так как 15 = 3 * 5. Значит, a² также делится на 3. Следовательно, a тоже должно быть кратным трём. Подставим a = 3k, где k – некоторое целое число: 15b² = (3k)² Упростим уравнение: 15b² = 9k² Сократим на 3: 5b² = 3k² Таким образом, мы получаем, что b² делится на 5. Следовательно, b тоже должно быть кратным пяти. Но мы получили противоречие, так как a и b не могут одновременно быть кратными трем и пяти. Это означает, что наше предположение о том, что корень из 15 является рациональным числом, было неверным. Следовательно, корень из 15 является иррациональным числом. Вторым доказательством является доказательство методом исключенияПредположим, что корень из 15 является рациональным числом, то есть можно представить его в виде дроби p/q, где p и q — целые числа и q ≠ 0. Тогда мы можем записать уравнение (sqrt(15))^2 = (p/q)^2, которое эквивалентно уравнению 15 = (p^2)/(q^2). Умножая обе части уравнения на q^2, получаем 15q^2 = p^2. Заметим, что в левой части уравнения число 15 делится на 5, но не делится на 3, тогда как в правой части числа p^2 и q^2 делятся на оба этих простых числа. Это противоречие свидетельствует о том, что исходное предположение было неверным, и корень из 15 является иррациональным числом. Связь с неразложимостью в непрерывной десятичной системеДоказательство иррациональности корня из 15 в контексте непрерывной десятичной системы можно привести через связь с неразложимостью числа. Предположим, что корень из 15 является рациональным числом и может быть представлен в виде десятичной дроби: $$\sqrt{15} = a_0.a_1a_2a_3…$$ Рассмотрим число, полученное возведением этой десятичной дроби в квадрат: $$15 = (\sqrt{15})^2 = (a_0.a_1a_2a_3…)^2 = a_0 + a_1\cdot10^{-1} + a_2\cdot10^{-2} + a_3\cdot10^{-3} + …$$ Теперь умножим данное число на $10^2$: $$1500 = a_0\cdot10^2 + a_1\cdot10 + a_2 + a_3\cdot10^{-1} + a_4\cdot10^{-2} + …$$ Заметим, что число $1500$ является целым числом, а значит, левая часть выражения тоже должна быть целым числом. Однако, правая часть представляет из себя сумму рационального числа $a_0 + a_1\cdot10^{-1} + a_2\cdot10^{-2} + a_3\cdot10^{-3} + …$ и бесконечного набора десятичных разрядов после запятой. Это противоречие говорит о том, что корень из 15 не может быть рациональным числом. Таким образом, корень из 15 является иррациональным числом. Доказательство использует связь с неразложимостью числа в непрерывной десятичной системе, иллюстрируя, что предположение о рациональности данного числа противоречит его математическому определению. Предположим, что корень из 15 — рациональное числоТогда, пусть √15 = a/b, где a и b — целые числа без общих делителей. Возведем обе части в квадрат: (√15)^2 = (a/b)^2 15 = (a^2)/(b^2) Умножим уравнение на b^2: 15b^2 = a^2 Заметим, что a^2 — это квадрат целого числа, следовательно, a^2 должно быть кратно 15. Так как 15 является простым числом и при разложении на простые множители имеет только множители 3 и 5, то a^2 должно быть кратно 3 и 5. Значит, a должно быть кратно и 3, и 5, что противоречит нашему предположению, что a и b не имеют общих делителей. Таким образом, наше предположение о том, что корень из 15 является рациональным числом, неверно. Следовательно, корень из 15 является иррациональным числом. Связь с неразложимостью в бесконечной десятичной системеИррациональность числа обозначает отсутствие возможности представить его в виде десятичной дроби или конечной десятичной дроби. В случае корня из 15, нам не удастся найти точное представление в виде десятичной дроби. Предположим, что корень из 15 можно представить в виде десятичной дроби: √15 = a.bcd… (1) Где a, b, c, d — цифры десятичной дроби. Возводя обе части равенства (1) в квадрат, получаем: 15 = (a.bcd…)² Применим свойство дистрибутивности: 15 = a² + 2ab + 0.b² + 0.bc + 0.cd + … Заметим, что в десятичной дроби справа от запятой будут следовать бесконечное количество цифр, которые мы представили точками. То есть мы имеем сумму конечных десятичных дробей и бесконечной десятичной дроби, что противоречит определению иррациональности числа. Таким образом, предположение о том, что корень из 15 является рациональным числом, неверно. Данное число является иррациональным. Следовательно, корень из 15 неразложим в бесконечной десятичной системе представления чисел, что подтверждает его иррациональность. Определение неразложимости числаКорень из 15, обозначаемый как √15, является примером неразложимого числа. Мы не можем представить √15 в виде десятичной дроби без бесконечного количества цифр после запятой. Также мы не можем записать √15 в виде дроби вида m/n, где m и n являются целыми числами. Математические доказательства показывают, что корень из 15 нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Это означает, что √15 является неразложимым числом и, следовательно, иррациональным числом. |